Vos vecteurs
Vecteur u
Vecteur v
Résultat
Renseignez vos vecteurs et cliquez sur Calculer.
Calculez la norme d'un vecteur, le produit scalaire, le produit vectoriel (3D) et l'angle entre deux vecteurs, en 2D ou en 3D.
Un vecteur est un objet mathématique caractérisé par une direction, un sens et une longueur (sa norme). Les opérations sur les vecteurs — norme, produit scalaire, produit vectoriel — sont fondamentales en géométrie, en physique (forces, vitesses, déplacements) et en informatique graphique.
Choisissez la dimension (2D ou 3D), saisissez les coordonnées des vecteurs u et v, puis cliquez sur Calculer pour obtenir leur norme, leur produit scalaire, l'angle entre eux et, en 3D, leur produit vectoriel.
La norme (ou longueur) d'un vecteur correspond à la distance entre son origine et son extrémité. Elle se calcule grâce au théorème de Pythagore généralisé, à partir de ses coordonnées :
Pour le vecteur u(3 ; 4), la norme vaut ‖u‖ = √(3² + 4²) = √25 = 5. C'est l'exemple classique du triplet pythagoricien (3, 4, 5).
Le produit scalaire de deux vecteurs combine leurs coordonnées pour produire un nombre (scalaire), qui renseigne notamment sur l'angle qu'ils forment entre eux :
Si le produit scalaire est nul, les deux vecteurs sont orthogonaux (perpendiculaires). S'il est positif, l'angle entre eux est aigu ; s'il est négatif, l'angle est obtus.
Le produit vectoriel de deux vecteurs (uniquement défini en 3D) produit un troisième vecteur, perpendiculaire aux deux premiers, dont la norme est liée à l'aire du parallélogramme qu'ils forment :
Ce produit est notamment utilisé en physique pour calculer un moment de force (couple) ou en informatique graphique pour déterminer la normale à une surface.
Pour convertir l'angle obtenu en degrés vers d'autres formats, ou effectuer des calculs d'angles complémentaires, notre calculateur d'angle complète utilement cet outil. Pour des calculs de coefficient directeur ou de pente entre deux points, consultez notre calculateur de coefficient directeur. Les opérations sur des matrices (souvent utilisées conjointement avec les vecteurs en algèbre linéaire) sont couvertes par notre calculateur matriciel.
Méthode mathématique exacte. Les formules utilisées (norme euclidienne, produit scalaire, produit vectoriel) sont des définitions mathématiques standards, appliquées ici avec exactitude à vos coordonnées.
Utilisez la formule ‖u‖ = √(x² + y²) en 2D, ou ‖u‖ = √(x² + y² + z²) en 3D, où x, y, z sont les coordonnées du vecteur. C'est une application directe du théorème de Pythagore.
Deux vecteurs sont orthogonaux (perpendiculaires) si et seulement si leur produit scalaire est égal à 0 : u · v = 0.
Le produit scalaire donne un nombre (scalaire) et existe en 2D comme en 3D. Le produit vectoriel donne un nouveau vecteur, perpendiculaire aux deux vecteurs de départ, et n'est défini qu'en dimension 3.
Calculez le produit scalaire des deux vecteurs, puis divisez-le par le produit de leurs normes pour obtenir le cosinus de l'angle : cos(θ) = (u·v)/(‖u‖×‖v‖). L'angle θ s'obtient ensuite avec la fonction arccos.