Un système de 3 équations à 3 inconnues (x, y, z) intervient dans de nombreux domaines : physique, économie, ingénierie, informatique graphique. Ce guide détaille les 4 méthodes de résolution disponibles dans cet outil, leurs avantages respectifs et les pièges à éviter.
1La méthode de Cramer et la règle de Sarrus
La méthode de Cramer utilise les déterminants pour obtenir directement chaque inconnue sous forme de fraction exacte.
Formules
x = Δx / Δ | y = Δy / Δ | z = Δz / Δ
Le déterminant Δ (3×3) se calcule avec la règle de Sarrus : on additionne les produits des diagonales descendantes et on soustrait les produits des diagonales montantes. Δx, Δy et Δz sont obtenus en remplaçant respectivement la colonne des coefficients de x, y ou z par la colonne des résultats (d₁, d₂, d₃).
Cas particulier
Si Δ = 0, le système n'admet pas de solution unique : il est soit impossible (aucune solution), soit indéterminé (infinité de solutions). Il faut alors vérifier si les équations sont proportionnelles entre elles.
2Le pivot de Gauss
Le pivot de Gauss transforme le système en une matrice triangulaire par des opérations d'élimination successives sur les lignes, puis résout par « remontée » en partant de la dernière équation (qui ne contient plus qu'une seule inconnue). C'est la méthode la plus systématique et la plus facilement généralisable à des systèmes de grande taille (4, 5 inconnues ou plus).
3Substitution et combinaison
La méthode par substitution consiste à isoler une variable dans une équation, puis à reporter son expression dans les deux autres équations pour réduire progressivement le nombre d'inconnues. La méthode par combinaison additionne ou soustrait des équations (éventuellement multipliées par un facteur) pour éliminer une variable à la fois. Ces deux méthodes sont particulièrement pédagogiques et permettent de bien comprendre la logique de résolution, contrairement à Cramer ou Gauss qui sont plus mécaniques.
4Quelle méthode choisir ?
Pour un système 3×3 classique, la méthode de Cramer offre des résultats exacts rapidement grâce aux fractions. Le pivot de Gauss est préférable pour des systèmes plus grands ou lorsque vous devez généraliser votre méthode. Substitution et combinaison restent les meilleures options pour un usage scolaire où l'objectif est de comprendre chaque étape du raisonnement plutôt que d'obtenir uniquement le résultat final.
Si votre système comporte des racines carrées ou des fractions à simplifier au préalable, nos outils calculateur de racine carrée et calculatrice de fractions peuvent vous aider à préparer vos coefficients avant de les saisir ici. Pour une équation unique (et non un système), notre solveur mathématique IA résout aussi les équations à une inconnue avec toutes les méthodes détaillées.
5Erreurs courantes à éviter
À ne pas faire
- Se tromper de signe lors du calcul du déterminant avec la règle de Sarrus (les diagonales montantes sont soustraites, pas additionnées).
- Oublier de vérifier si Δ = 0 avant d'appliquer la méthode de Cramer, ce qui rendrait le calcul de x, y, z impossible (division par zéro).
- Mélanger l'ordre des variables (x, y, z) entre les différentes équations lors de la saisie des coefficients.
- Ne pas vérifier la solution trouvée en la réinjectant dans les trois équations d'origine.