Votre fonction
Utilisez x, ^ pour les puissances, et des parenthèses. Multiplication implicite acceptée (3x, 2(x+1)).
Résultat
Saisissez une fonction et cliquez sur Calculer.
Calculez la dérivée d'une fonction polynomiale, le nombre dérivé en un point donné, et l'équation de la tangente à la courbe en ce point.
La dérivée d'une fonction est l'un des concepts fondamentaux de l'analyse mathématique, introduit en classe de première et approfondi en terminale. Elle mesure la vitesse de variation instantanée d'une fonction en un point, et sert de base à l'étude complète des variations d'une courbe.
Saisissez votre fonction polynomiale f(x) dans le champ prévu (utilisez x et ^ pour les puissances), indiquez un point a si vous voulez le nombre dérivé et la tangente, puis cliquez sur Calculer pour obtenir f'(x) et le détail complet.
| Fonction f(x) | Dérivée f'(x) |
|---|---|
| k (constante) | 0 |
| x | 1 |
| xⁿ | n·xⁿ⁻¹ |
| k·u(x) | k·u'(x) |
| u(x) + v(x) | u'(x) + v'(x) |
| u(x)·v(x) | u'(x)v(x) + u(x)v'(x) |
Pour un polynôme, il suffit d'appliquer la règle xn → n·xn-1 à chaque terme, puis d'additionner les résultats (règle de la somme). C'est exactement la méthode qu'applique notre calculateur.
Pour f(x) = x³ − 3x² + 2x − 5, on dérive chaque terme séparément : (x³)' = 3x², (−3x²)' = −6x, (2x)' = 2, (−5)' = 0. La dérivée complète est donc f'(x) = 3x² − 6x + 2.
Le nombre dérivé de f en un point a, noté f'(a), est simplement la valeur de la fonction dérivée évaluée en ce point précis. Géométriquement, il correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a.
Une fois le nombre dérivé f'(a) et l'image f(a) connus, l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse a se déduit directement.
Cette tangente est la droite qui « épouse » la courbe au point considéré, avec exactement la même pente que la courbe à cet endroit précis — c'est le lien géométrique fondamental entre dérivée et tangente.
Cette relation est au cœur de l'étude complète des fonctions au lycée : dresser un tableau de variations revient à étudier le signe de la fonction dérivée. Pour manipuler et simplifier l'expression d'une fonction avant de la dériver, notre solveur de calcul littéral (réduction, développement, factorisation) est un complément utile.
La dérivée n'est pas qu'un outil scolaire abstrait : en physique, la vitesse instantanée est la dérivée de la position par rapport au temps, et l'accélération est la dérivée de la vitesse. En économie, le coût marginal est la dérivée de la fonction de coût total. L'opération inverse de la dérivation, la primitive (ou intégrale), permet de « remonter » d'une dérivée à la fonction d'origine — notre calculateur d'intégrale couvre cette opération complémentaire.
Outil pédagogique. Ce calculateur applique les règles de dérivation standards du programme de mathématiques de première et terminale, pour des fonctions polynomiales en une variable (x). Pour les fonctions trigonométriques, exponentielles ou logarithmiques, une vérification manuelle reste recommandée.
Appliquez la règle x^n → n·x^(n-1) à chaque terme du polynôme, en additionnant les résultats. Par exemple, la dérivée de x³ − 3x² + 2x − 5 est 3x² − 6x + 2. Les constantes ont toujours une dérivée nulle.
Le nombre dérivé f'(a) est la valeur de la fonction dérivée en un point précis x = a. Géométriquement, il représente le coefficient directeur (la pente) de la tangente à la courbe au point d'abscisse a.
Utilisez la formule y = f'(a)(x − a) + f(a), où a est l'abscisse du point de tangence, f'(a) le nombre dérivé en ce point, et f(a) l'image de a par la fonction.
Étudiez le signe de sa dérivée : si f'(x) est positive sur un intervalle, f est croissante sur cet intervalle ; si f'(x) est négative, f est décroissante. Les points où f'(x) = 0 sont les candidats potentiels pour un extremum local.
La dérivée d'une constante est toujours égale à 0, car une fonction constante ne varie pas : sa vitesse de variation instantanée est nulle en tout point.